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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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ABORDAGEM DO TEMA PROBABILIDADE E PROBABILIDADE
GEOMÉTRICA NOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO INDICADOS PELO PNLD
ENFOQUE DEL TEMA PROBABILIDAD Y LA PROBABILIDAD
GEOMÉTRICA EN LOS LIBROS DIDÁCTICOS DE MATEMÁTICAS DE
LA ESCUELA SECUNDARIA INDICADOS POR EL PNLD
APPROACH TO THE THEME PROBABILITY AND GEOMETRIC
PROBABILITY IN HIGH SCHOOL MATHEMATICS BOOKS INDICATED
BY PNLD
Denise RITTER
Universidade Franciscana
e-mail: deniseritter10@gmail.com
Ana Marli BULEGON
Universidade Franciscana
e-mail: anabulegon@ufn.edu.br
Como referenciar este artigo
BULEGON, D. R.; RITTER, D. Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica
nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD.
Revista Hipótese
,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154. DOI:
https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
Submetido em
: 13/06/2021
Revisões requeridas em
: 09/09/2021
Aprovado em
: 15/09/2021
Publicado em
: 01/01/2022
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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RESUMO
: Este trabalho objetiva analisar como é abordado o conteúdo de Probabilidade e se
a Probabilidade Geométrica é apresentada em livros didáticos de Matemática do PNLD 2015.
Foram analisados exemplares de Matemática do Ensino Médio sugeridos pelo Guia de Livros
Didáticos. Percebeu-se que todas as coleções procuram evidenciar os aspectos históricos da
Probabilidade e a maioria apresenta situações de sua aplicação. Nenhuma das coleções aborda
o conceito de Probabilidade Geométrica e apenas duas apresentam exercícios que exigem esse
conhecimento na resolução. Acredita-se que a análise realizada pode contribuir no processo de
ensino dos conceitos de Probabilidade, tornando sua aprendizagem mais efetiva.
PALAVRAS-CHAVE
: Livros didáticos. Matemática. PNLD. Análise.
RESUMEN
: Este trabajo tiene como objetivo analizar cómo se aborda el contenido de
Probabilidad y si la Probabilidad Geométrica se presenta en los libros didáticos de
Matemáticas del PNLD 2015. Se analizaron muestras de Matemáticas de Secundaria sugeridas
por la Guía de Libros Didáticos. Se notó que todas las colecciones buscan resaltar los aspectos
históricos de la Probabilidad y las situaciones más presentes de su aplicación. Ninguna de las
colecciones aborda el concepto de Probabilidad Geométrica y solo dos tienen ejercicios que
requieren este conocimiento en la resolución. Se cree que el análisis realizado puede contribuir
al proceso de enseñanza de los conceptos de Probabilidad, haciendo más efectivo su
aprendizaje.
PALABRAS CLAVE
: Libros didácticos. Matemáticas. PNLD. Analizar.
ABSTRACT
: This work aims to analyze how the content of Probability is approached and
whether Geometric Probability is presented in PNLD 2015 Mathematics textbooks. Samples of
High School Mathematics suggested by the Textbook Guide were analyzed. It was noticed that
all collections seek to highlight the historical aspects of Probability and most present situations
of its application. None of the collections addresses the concept of Geometric Probability and
only two have exercises that require this knowledge in the resolution. It is believed that the
analysis performed can contribute to the teaching process of Probability concepts, making their
learning more effective.
KEYWORDS
: Didatic books. Math. PNLD. Analysis.
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD
Rev. Hipótese,
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Introdução
Os conhecimentos de matemática são importantes, pois possuem aplicações em diversas
áreas do conhecimento e na vida cotidiana. Dentre esses conhecimentos, está a Probabilidade
que auxilia na análise de situações e tomada de decisões. Utilizando a Probabilidade, é possível
determinar a possibilidade de ocorrência de eventos, como o resultado de uma loteria ou as
chances de um time ganhar um jogo ou um campeonato.
Os PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio) ressaltam a
importância de trabalhar a Matemática de forma contextualizada a fim de que o estudante
consiga analisar, compreender, interpretar, construir argumentos e tomar decisões em situações
cotidianas (BRASIL, 2000). Diante disso, os currículos da educação básica incluem diversos
conceitos de aplicação da Matemática no cotidiano em sua grade curricular, como é o caso da
Probabilidade. O estudo desse conceito inicia no Ensino Fundamental (EF) e é aprofundado no
Ensino Médio (EM).
Os livros didáticos fornecidos pelo Ministério da Educação (MEC) por meio do
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) são utilizados como referência nas escolas
públicas. As escolas escolhem os livros didáticos que desejam utilizar por meio da análise do
Guia do Livro Didático que apresenta a resenha das obras aprovadas pelo MEC. O objetivo do
PNLD é disponibilizar às escolas de Ensino Fundamental e Médio, livros didáticos, acervos de
obras literárias, obras complementares e dicionários.
O livro didático é um material importante, pois, segundo Carvalho e Lima (2010) a
maioria dos professores atribui a esse recurso um papel de destaque dentre os recursos didáticos
que podem ser utilizados no processo de ensino e aprendizagem. Considerando que o livro
didático é um material que é utilizado pelos professores como suporte no processo de ensino,
se destaca a importância da realização da análise desse tipo de material. Diante disso, esse
trabalho tem por objetivo analisar como é abordado o conceito de Probabilidade e se é
apresentada a Probabilidade Geométrica nas coleções de livros didáticos de Matemática
indicados pelo PNLD de 2015 para o Ensino Médio. A análise desenvolvida neste artigo é parte
integrante da dissertação de mestrado intitulada “O ensino de Probabilidade Geométrica:
desafios e possibilidades”, de autoria de uma das autoras, desenvolvida no Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Franciscana.
Este trabalho apresenta algumas reflexões sobre o livro didático e o ensino de
Matemática; aspectos relevantes sobre os conceitos de Probabilidade e Probabilidade
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Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
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Geométrica; um panorama dos trabalhos já publicados sobre essa temática;
a metodologia
empregada neste estudo; a abordagem do tema Probabilidade e Probabilidade Geométrica nos
livros didáticos de Matemática do Ensino Médio; as considerações finais e referências utilizadas
na elaboração deste trabalho.
Livro didático e o ensino de Matemática
O livro didático ainda é um importante material didático de acesso ao conteúdo utilizado
pelos professores em suas aulas e apontado por Delizoicov, Angotti e Pernambuco (2007) como
o principal instrumento de trabalho do professor, na maioria das salas de aula, dando suporte à
prática docente e servindo como principal referência.
Conforme Carvalho e Lima (2010, p. 29) “Um bom livro didático é uma fonte para o
conhecimento da matemática escolar. É nele que podemos nos familiarizar com a Matemática
que devemos ensinar”. O livro didático pode ser utilizado pelo professor como suporte para o
desenvolvimento do conteúdo; esse recurso também pode influenciar a forma como o professor
desenvolve o conteúdo, podendo propor situações problemas ou atividades práticas sugeridas
no livro didático. Dessa forma, o livro didático sinaliza qual o saber será estudado, os métodos
que podem ser adotados para aprendê-lo de forma eficaz e a organização curricular ao longo
dos anos de escolaridade (CARVALHO; LIMA, 2010). Os livros didáticos geralmente visam
Disponibilizar aos alunos uma ferramenta de referência para pesquisas
eventuais; propor uma partição do programa em capítulos estruturados,
permitindo aos alunos e professores usá-los como referência; ser uma base de
dados para os exercícios e os problemas; Explicitar um texto, expondo as
noções do programa
(ALMOULOUD, 2005, p. 53)
.
O livro didático desempenha o importante papel de favorecer o contato dos estudantes
com a Matemática escolar (CARVALHO; LIMA, 2010). A Base Nacional Comum Curricular
(BNCC) aponta que o livro didático é um dos recursos que têm um importante papel na
compreensão e utilização das noções matemáticas e que “[...] esses materiais precisam estar
integrados a situações que levem à reflexão e à sistematização, para que se inicie um processo
de formalização” (BRASIL, 2018, p. 276). Dessa forma, percebe-se o importante papel do livro
didático e ressalta-se a relevância de realizar análises desse tipo de material, visando identificar
suas características, pontos fortes e aspectos que carecem de maiores reflexões. Os livros
didáticos
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Define-se então:
número de casos favoráveis
m
Probabilidade de A =
P A
( ) = =
número de casos possíveis
n
O conhecimento de Probabilidade é importante, pois auxilia as pessoas na análise de
situações e tomada decisões em seu cotidiano. Além disso, possibilita ao estudante desenvolver
importantes habilidades como a análise crítica e a argumentação (LOPES, 2008).
Woodward e Hoehn (1994) ressaltam que para que os estudantes consigam aprender
mais sobre Probabilidade, é necessário ensinar ou reforçar, conceitos desse conteúdo
relacionando com outros conteúdos como a Geometria. Segundo os autores, a Geometria é
adequada pelos seguintes fatores: os problemas de Geometria que envolvem Probabilidade são
interessantes e podem servir de motivação; os estudantes poderão utilizar de modo diferente os
conceitos de Geometria que já dispõem; e terão uma melhor compreensão dos conceitos da
Probabilidade ao verem esses aplicados ao contexto da Geometria.
A Probabilidade Geométrica auxilia os estudantes a construir importantes conceitos,
pois utiliza as noções de Geometria estudadas desde o Ensino Fundamental para desenvolver o
conceito de Probabilidade (FREITAS, 2009).
O conteúdo de Probabilidade Geométrica nem sempre é abordado em aulas de
Matemática da Educação Básica (ALCÂNTARA, 2014; CAETANO; PATERLINI, 2013).
Esse fato pode acontecer em virtude dos conceitos de Probabilidade muitas vezes não serem
trabalhados nesse nível de ensino, apesar de ser um tópico importante e que é utilizado em
várias áreas do conhecimento (SILVA, 2014; VIANA, 2013).
A Probabilidade Geométrica é uma parte do estudo de Probabilidade em que se faz
necessário utilizar noções geométricas para resolver problemas probabilísticos (GONDIM,
2013; SILVA, 2014). Comprimento, área e volume são as noções geométricas mais utilizadas
para resolver esse tipo de problema. Conforme Pereira (2011, p. 1): “[...] na teoria de
Probabilidades Geométricas, os elementos aleatórios não são quantidades, mas objetos
geométricos como pontos linhas e rotações”.
Tunala (1992, p. 16) coloca que:
Alguns problemas de probabilidade são equivalentes à seleção aleatória de
pontos em espaços amostrais representados por
figuras geométricas
. Nos
modelos em apreço, a probabilidade de um determinado evento se reduz à
relação – ou ao seu limite, caso exista – entre,
medidas geométricas
homogêneas
, tais como comprimento, área ou volume.
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Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD
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Conforme Machado (2012), a Probabilidade em espaços geométricos são razões entre
medidas de comprimento, de área ou de volume, estando essas medidas na mesma unidade.
Nesse sentido, Tunala (1992) apresenta a seguinte definição para a Probabilidade envolvendo
área: Suponha-se que uma figura plana
a
seja parte de outra figura plana
A
e que se tenha
escolhido ao acaso um ponto de
A
. Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer
a
a
é proporcional à área de
a
e não depende do lugar que
a
ocupa em
A
, então a probabilidade
de que o ponto selecionado esteja em
a
será:
Figura 1 –
Relação de probabilidade de área de dois espaços geométricos
Fonte: Elaborado pelas autoras (2020)
Probabilidade nos livros didáticos: panorama geral
Nessa seção, são apresentados alguns estudos que analisaram como o conceito de
Probabilidade é abordado nos livros didáticos de Matemática.
Rodrigues e Martins (2016), tiveram por objetivo analisar e discutir como o tema
Probabilidade é tratado nas seis coleções de livros didáticos aprovadas para o Ensino Médio no
PNLD do triênio 2015-2017. A partir da análise dos livros didáticos os autores salientam que o
conteúdo Probabilidade não é abordado em nenhuma das coleções analisadas no primeiro ano
do Ensino Médio; duas abordam nos volumes 2 e 3, e as demais apresentam esse conteúdo
apenas no segundo volume; dessa forma, o conteúdo de Probabilidade é trabalhado em apenas
um ano do ciclo escolar do Ensino Médio. Os autores também constataram que as coleções
costumam dedicar, em média, apenas um pouco mais de três porcento das páginas para a
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abordagem do conteúdo Probabilidade, durante todo o Ensino Médio.
Viali e Oliveira (2010) entrevistaram professores do Ensino Médio para identificar quais
coleções de livros didáticos esses costumam utilizar. A partir das respostas, os autores
selecionaram os cinco livros mais citados pelos professores para análise. O objetivo da análise
foi verificar como o conteúdo de Probabilidade é apresentado e se está de acordo com a
legislação, especificamente o PCN+. Os autores constataram que o conteúdo de Probabilidade
é normalmente inserido no último capítulo, sem estabelecer relações com os conteúdos
anteriores e que nos exemplos e exercícios, prevalecem questões que envolvem jogos, moedas
e dados. Por fim, ressaltam que nenhum dos textos faz uso ou encoraja o professor a usar
recursos tecnológicos.
Coutinho
et al.
(2013) realizaram um estudo do Guia de Livros Didáticos de
Matemática, do PNLD de 2012, em relação à presença do conteúdo de Probabilidade, a
quantidade de páginas destinadas a ele e à metodologia utilizada. Em seguida, os autores
analisaram as tarefas propostas em uma das coleções, que foi escolhida por ser a que possuía a
menor quantidade de páginas destinadas à Probabilidade. Os autores concluíram que a obra
analisada apresentava uma boa abordagem do conteúdo de Probabilidade, que contemplou
desde a percepção do acaso, passando pela descrição de um experimento aleatório, enumeração
dos resultados possíveis, para então abordar a definição clássica de Probabilidade. Perceberam
ainda que a visão frequentista
1
não é adequadamente explorada nas coleções aprovadas
apresentadas no Guia de Livros Didáticos.
Oliveira (2006), analisou como são abordados os conteúdos de Estatística e
Probabilidade em uma amostra de livros didáticos de Matemática destinados ao Ensino Médio,
editados entre 1992 e 2005. A partir da análise, o autor ressalta que os livros didáticos dão
pouca ênfase aos conteúdos de Probabilidade e Estatística; segundo o autor, alguns apresentam
conceitos equivocados, não contextualizam os temas e não propõem a utilização de recursos
das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na resolução de problemas, indo, dessa
forma, em desencontro às Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN+).
Diante dos aspectos destacados nos trabalhos encontrados na literatura, ressalta-se a
importância de realizar análise de livros didáticos, visto que esses possuem aspectos que
merecem atenção do professor no momento de sua utilização.
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A Probabilidade Frequentista se caracteriza pelo valor matemático da probabilidade ser resultante do processo
de experimentação, em que é observado a frequência com que os fatos ocorrem.
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Metodologia
O trabalho apresentado trata-se de um estudo de natureza qualitativa, do tipo
documental. Conforme Lüdke e André (1986, p. 38), a análise documental é uma importante
abordagem de dados qualitativos, que analisa “[...] desde leis e regulamentos, normas,
pareceres, cartas, memorandos, diários pessoais, autobiografias, jornais, revistas, discursos,
roteiros de programas de rádio e televisão até livros, estatísticas e arquivos escolares”.
O objetivo do trabalho é analisar como são abordados os conceitos de Probabilidade e
se a Probabilidade Geométrica é apresentada nos livros didáticos de Matemática do Ensino
Médio, do PNLD de 2015. Para tanto, realizou-se a análise de todos os exemplares sugeridos
pelo Guia de Livros Didáticos do PNLD 2015, destinados ao Ensino Médio (Quadro 1). O Guia
de Livros Didáticos apresenta os conteúdos abordados em cada volume dos livros didáticos de
todas as coleções, dessa forma, a partir de sua análise e da revisão dos volumes das coleções
apresentadas no Quadro 1, selecionamos os volumes que abordam o conceito de Probabilidade.
Quadro 1
– Referência das coleções de livros de Ensino Médio analisadas
COLEÇÕES
REFERÊNCIA
Coleção I
LEONARDO, F. M.
Conexões com a Matemática
. Vol. 2, 3. 2ª ed. Cidade: Moderna,
2013.
Coleção J
DANTE, L. R.
Matemática:
Contexto e Aplicações. Vol. 2, 3. 2ª ed. São Paulo: Ática, 2013.
Coleção K
PAIVA, M. R.
Matemática
–
Paiva
. Vol. 2. 2ª ed. Cidade: Moderna, 2013.
Coleção L
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. M.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. S.
Matemática
– Ciência e Aplicações.
Vol. 2. 7ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
Coleção M
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V.
Matemática
–
Ensino Médio.
Vol. 2, 3. 8ª ed. São
Paulo: Saraiva, 2013.
Coleção N
SOUZA, J. R.
Novo olhar:
Matemática. Vol. 2. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2013.
Fonte: Ritter (2017, p. 61)
A análise realizada nas coleções de livros didáticos foi norteada pelas seguintes
questões: Como é abordado o conteúdo de Probabilidade? São evidenciados os aspectos
históricos de como surgiu esse conteúdo? São apresentadas situações de aplicação do conteúdo?
A Probabilidade é relacionada com outros conteúdos de Matemática? A Probabilidade é
relacionada com outras disciplinas/áreas? São propostas atividades como experimentos,
construção de mapas conceituais, jogos, dentre outras? É abordado o conceito de Probabilidade
Geométrica? São propostos exercícios sobre Probabilidade Geométrica? Essas questões foram
propostas baseadas nos pontos que Carvalho e Lima (2010) consideram importantes serem
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observados em livros didáticos de Matemática e nos aspectos que são importantes na
abordagem desse conteúdo.
Abordagem do tema Probabilidade e Probabilidade Geométrica nos livros didáticos do
Ensino Médio
Ressalta-se que a análise dos livros didáticos apresentada a seguir é parte integrante da
dissertação “O ensino de Probabilidade Geométrica: desafios e possibilidades” de uma das
autoras desse trabalho. O objetivo deste estudo é analisar como é abordado o conteúdo de
Probabilidade e se a Probabilidade Geométrica é apresentada em livros didáticos de Matemática
do Ensino Médio do PNDL de 2015.
Pela análise do Quadro 1, percebe-se que metade das coleções analisadas (I, J e M)
abordam o conteúdo de Probabilidade em dois volumes enquanto as demais (K, L e N) abordam
em apenas um. Na sequência, é apresentada uma breve descrição das coleções analisadas.
A coleção I, de Leonardo (2013), expõe como surgiu a teoria das Probabilidades,
também apresenta aplicações dessa teoria na pesquisa científica e na vida social. Nessa coleção,
os conceitos são expostos de forma intercalada com exemplos e são apresentadas aplicações da
Probabilidade em situações cotidianas. São propostos alguns exercícios resolvidos e
questionamentos a respeito deles para que os estudantes reflitam e discutam. Na seção
“Exercícios complementares” são apresentados exercícios que são classificados em:
“Aplicação, Aprofundamento, Desafio, Autoavaliação”, sendo alguns de vestibulares e do
ENEM. A coleção possui a seção “Compreensão de texto” na qual é sugerido que seja realizado
um trabalho interdisciplinar com a Biologia, abordando para tanto o tema transfusão de sangue;
a coleção destaca as contribuições de várias ciências nesse processo, entre elas a Matemática.
É apresentada uma discussão sobre esse tema e em seguida são propostas algumas questões
sobre ele e que envolvem Probabilidade. A Probabilidade Geométrica não é trabalhada nem são
propostos exercícios sobre esse assunto.
Dante (2013), coleção J, expõem como surgiu o estudo da teoria das Probabilidades.
Nessa coleção, os conceitos são desenvolvidos de forma intercalada com exercícios e exercícios
resolvidos. Alguns dos exercícios resolvidos possuem o tópico “Resolvido passo a passo” em
que é executada uma sequência de etapas que são: “Lendo e compreendendo”, “Planejando a
solução”, “Executando o que foi planejado”, “Emitindo a resposta” e “Ampliando o problema”.
A coleção também apresenta “Aplicações de Probabilidade à Genética” e ressalta que essa área
é, talvez, o ramo da Biologia que mais utiliza os conceitos matemáticos da teoria das
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Probabilidades. Nessa seção, também são apresentados exercícios que abordam essa temática.
A seção “Outros contextos” discorre sobre a doação de órgãos, e problemas de Probabilidade
que abordam esse tema. Apresenta a seção “Leituras” que possui os tópicos “A Matemática da
sorte” e “Um pouco mais sobre Probabilidades” discorrendo sobre esses assuntos. A
Probabilidade Geométrica não é trabalhada nem são propostos exercícios sobre esse assunto
nessa coleção.
A coleção K, de Paiva (2013), expõem um breve relato histórico sobre o surgimento da
teoria das Probabilidades. Os conceitos são apresentados e exemplificados, e na sequência são
apresentados “Exercícios resolvidos” e “Exercícios propostos”. Os exercícios são
contextualizados com situações reais.
Apresenta uma seção denominada “Roteiro de trabalho”, na qual são apresentados
tópicos relacionados aos conceitos trabalhados para os estudantes discutirem em grupos.
Propõem “Exercícios complementares”, alguns desses de vestibulares e do ENEM. Propõem
também a “Análise da resolução”, em que é apresentado um exercício e sua resolução, durante
a qual foi cometido um erro, então estimula a identificação desse erro e a refazer a resolução.
Também é apresentada a seção “Matemática sem fronteiras”, que aborda a “Expectativa de
vida” da população brasileira, sendo propostos questionamentos de Probabilidade sobre os
dados apresentados. A Probabilidade Geométrica não é trabalhada nem são propostos
exercícios sobre esse assunto.
Iezzi
et al.
(2013), coleção L, abordam a história da Probabilidade na seção “Um pouco
de história” em que apresentam os primeiros registros ligados à teoria da Probabilidade. Os
conceitos são apresentados juntamente com situações reais e são propostas questões que
utilizam para sua resolução as ideias de combinatória e Probabilidade. Os exercícios são
contextualizados com situações reais, sendo apresentadas diversas situações em que os
conceitos de Probabilidade são utilizados, como por exemplo, na probabilidade de ganhar na
Mega-Sena. A Probabilidade Geométrica não é explorada nessa coleção.
A coleção M, de Smole e Diniz (2013), no volume 2, evidencia algumas áreas de
aplicações da Probabilidade. Os conteúdos são explicados e exemplificados. Na seção
“Problemas e exercícios”, sugere a realização de experimentos, como lançamentos de moedas
e dados e resolução de problemas contextualizados. Também propõem exercícios e sua
respectiva resolução, estimulando o estudante a analisar a resolução para identificar se ela
possui erros, instigando-o a argumentar sobre eles. Possui a seção “Invente você”, na qual
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sugere que os estudantes criem problemas sobre um determinado assunto. Apresenta links de
jogos digitais como sugestão que pode ser utilizada para auxiliar na compreensão do conceito
de Probabilidade. Possui exercícios resolvidos; na seção “Para saber mais” são propostas
atividades como o lançamento de moedas. Aborda, também, a relação entre Probabilidade e
Contagem, sendo propostos exercícios sobre esses conteúdos. Um dos exercícios (Quadro 2)
propostos na seção “Saia dessa” necessita para sua resolução a noção de Probabilidade
Geométrica.
Quadro 2 –
Problema proposto no livro M
Fonte: Smole e Diniz (2013, p. 181)
Possui a seção “Projeto Probabilidade: história e aplicações” na qual sugere que os
estudantes investiguem a história da Probabilidade e suas aplicações. Na seção “palavras-
chave”, propõem a construção de mapas conceituais como forma de sintetizar o que foi
estudado. Para tanto, mostra um esboço inicial de um mapa conceitual sobre o tópico de
Probabilidade e sugere que os estudantes o completem.
Apresenta a seção “Conexão Matemática – Física Quântica”, a qual possui um texto
sobre a relação entre Teoria Quântica e Probabilidade.
No volume 3 dessa coleção, é apresentada a unidade “Probabilidade e Estatística” a qual
tem por intuito utilizar a Probabilidade na interpretação de situações e na tomada de decisões a
partir de dados estatísticos. Possui duas seções de aprofundamento dos conteúdos intituladas
“Função ou distribuição de Probabilidade” e “Probabilidade frequentista e lei dos grandes
números”. Na seção “No computador”, expõem como sugestão um programa de computador
que faz simulações como o lançamento de uma moeda; apresenta instruções para a utilização
do programa, instigando os estudantes a explorá-lo e a realizarem experimentos. Na seção “Para
saber”, é apresentado um texto sobre uma família de matemáticos que contribuiu na teoria das
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Probabilidades. Na seção “Conexão Matemática – Ciência Forense – Probabilidade” é
apresentado um texto sobre Ciência Forense e as diversas áreas envolvidas para a análise
científica das evidências de um crime.
Souza (2013), coleção N, apresenta a origem da teoria da Probabilidade relacionada aos
jogos de azar. Os conceitos são expostos intercalados com exemplos. Na seção “Atividades
resolvidas” são apresentados alguns exercícios juntamente com sua resolução. Apresenta
também a seção “Atividades” em que são propostos exercícios para os estudantes resolverem.
Tanto nas “Atividades resolvidas” quanto nas “Atividades” o livro apresenta questões do
ENEM e de vestibulares. Na seção “Atividades” uma das questões propostas é sobre o Tangram.
Este exercício não faz menção a Probabilidade Geométrica, mas para sua resolução se faz
necessário os conhecimentos desse conceito, como pode ser observado no Quadro 3.
Quadro 3 –
Problema 1 proposto no livro N
Fonte: Souza (2013, p. 257)
Possui a seção “Contexto” que aborda diversos temas como, por exemplo, a
probabilidade em um grupo de pessoas, duas delas fazerem aniversário no mesmo dia.
Apresenta um texto que trata das contribuições da Probabilidade no diagnóstico de doenças na
Medicina e na sequência propõe alguns questionamentos. Um dos exercícios propostos na seção
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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“Atividades complementares”, do ENEM, (Quadro 4) também necessita para sua resolução
conhecimentos de Probabilidade Geométrica.
Quadro 4 –
Problema 2 proposto no livro N
Fonte: Souza (2013, p. 276)
Na seção “Explorando o tema” apresenta “O problema dos cincos discos” conforme a
versão de Malba Tahan. Também propõem uma análise probabilística de sua solução. No
Quadro 5 é apresentada uma síntese dos aspectos mais evidentes observados e que respondem
aos questionamentos que nos propomos a analisar nas coleções de livros didáticos de
Matemática.
Quadro 5 –
Aspectos mais evidentes do conteúdo de Probabilidade nas coleções analisadas
Aspectos/Coleção
I
J
K
L
M
N
Aborda seu surgimento.
X
X
X
X
X
X
Relaciona
com
outros conteúdos.
X
X
Relaciona
com
outras
disciplinas/área.
X
X
X
X
X
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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Propõem
aplicações
a
situações cotidianas.
X
X
X
X
X
X
Sugere
a realização de
atividades
(experimentos, mapas
conceituais, jogos).
X
Possui exercícios que
envolvem a
Probabilidade
Geométrica.
X
X
Fonte: Elaborado pelas autoras (2021)
Em relação a como os conteúdos são apresentados nas seis coleções de livros didáticos
analisados, podemos perceber que todas elas procuram utilizar uma abordagem história de
como surgiram as primeiras noções de Probabilidade. Outro aspecto relevante observado é que
todas as coleções apresentam situações de aplicação do conteúdo de Probabilidade a situações
cotidianas. Esses dados estão em consonância com o que afirma Carvalho e Lima (2010), de
que boa parte dos livros didáticos procura relacionar os conteúdos matemáticos ao seu
significado no cotidiano das pessoas.
Os exercícios de vestibular e do ENEM estiveram presentes em três das seis coleções
de livros didáticos analisados, sendo esse também um aspecto relevante, visto que esse tipo de
exercício ajuda a familiarizar o estudante com o tipo de questões desses processos seletivos.
Percebeu-se, ainda, a preocupação da maioria (5) das coleções em relacionar o conteúdo
de Probabilidade a outras disciplinas/áreas, esse aspecto é importante pois trata-se de um
conteúdo que é utilizado em diversas disciplinas, como por exemplo, a Biologia. Ressalta-se,
ainda, a preocupação das coleções em apresentar exemplos de como a Probabilidade pode ser
utilizada em outros contextos, como por exemplo: no diagnóstico de doenças na medicina, na
doação de órgãos, na expectativa de vida da população brasileira e na Ciência Forense.
Destaca-se que apenas em uma coleção, coleção M, são sugeridas atividades como:
experimentos, jogos digitais para serem jogados pelos estudantes; construção de mapas
conceituais. Dessa forma, percebe-se que essa coleção procura estimular a utilização de
diferentes recursos e estratégias visando contribuir no processo de ensino e aprendizagem dos
conceitos de Probabilidade.
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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Outro aspecto que carece ser mais explorado nas coleções analisadas é relacionar o
conteúdo de Probabilidade com outros conteúdos de Matemática, como a Análise
Combinatória, por exemplo, visto que apenas duas coleções (L e M) apresentam essas relações.
A análise realizada também possibilitou verificar que nenhuma das coleções de livros
didáticos aborda o conceito de Probabilidade Geométrica; duas apresentam exercícios que para
sua resolução é necessário utilizar esse conceito. Lima (2001), em seu estudo realizou uma
análise de doze coleções de livros didáticos de Matemática utilizados nos três anos do Ensino
Médio no Brasil, encontrando o conteúdo de Probabilidade Geométrica em apenas uma delas.
Esse autor coloca que “Este assunto, raramente abordado no Ensino Médio, é uma introdução
apropriada à noção de probabilidade contínua e proporciona exemplos bastante motivadores”
(LIMA, 2001, p. 97). Conforme Caetano e Paterlini (2013) o conceito de Probabilidade
Geométrica é pouco trabalhado no Ensino Médio, porém o seu estudo é importante, pois pode
auxiliar os estudantes a associar os conceitos trabalhados na Probabilidade aos conhecimentos
geométricos que já dispõem.
Ritter e Bulegon (2017) realizaram uma análise de como é trabalhado o conteúdo de
Probabilidade e Probabilidade Geométrica nos livros didáticos de Matemática do Ensino
Fundamental indicados pelo PNLD 2014. Essas autoras verificaram que em algumas coleções
o conceito de Probabilidade Geométrica é mencionado e são propostos alguns exercícios sobre
ele. Dessa forma, percebe-se que o conceito de Probabilidade Geométrica é abordado em alguns
livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental indicados pelo PNLD 2014, enquanto
nos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio indicados pelo PNLD 2015, esse conceito
aparece apenas de forma intuitiva em alguns poucos exercícios.
Considerações finais
O objetivo deste trabalho foi analisar como é abordado o conteúdo de Probabilidade e
se é apresentada a Probabilidade Geométrica em livros didáticos de Matemática do PNLD de
2015 destinados a estudantes do Ensino Médio. A análise das seis coleções de livros didáticos
possibilitou perceber que o conceito de Probabilidade Geométrica não é abordado em nenhuma,
mas em duas delas são propostos exercícios que, para sua resolução, é necessário utilizar esse
conceito.
Pode-se concluir que as coleções analisadas utilizam diferentes abordagens para
apresentar o conteúdo de Probabilidade, sendo que foi possível identificar a prevalência pela
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Abordagem do tema probabilidade e probabilidade geométrica nos livros didáticos de matemática do ensino médio indicados pelo PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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utilização da abordagem histórica de como esse conteúdo surgiu e a preocupação em apresentar
situações cotidianas de sua aplicação.
Apenas uma das coleções analisadas sugeria a utilização de recursos como, por
exemplo, jogos, no ensino de Probabilidade. Dessa forma, ressalta-se que é importante que as
coleções incorporem sugestões de atividades práticas utilizando diferentes recursos e
estratégias visto que esse tipo de atividade tem grande potencial para contribuir no processo de
ensino e aprendizagem de diversos conceitos.
Além disso, destaca-se que como apontado por Carvalho e Lima (2010) o livro didático
é um recurso importante, mas esse não deve ser o único recurso utilizado como suporte ao
trabalho do professor, é necessário buscar outras fontes ampliar e aprimorar o conteúdo e
adequá-lo à realidade do grupo de estudantes.
Por fim, ressalta-se que em 2020/2021, com a pandemia da Covid-19 e por dificuldades
de acesso à internet, muitos estudantes só tiveram contato com os conceitos, estudados na
Educação Básica, por meio dos livros didáticos. Assim, acredita-se que o livro didático é um
material importante e que a análise realizada pode contribuir no processo de ensino e
aprendizagem dos conceitos de Probabilidade, tornando sua aprendizagem mais efetiva.
AGRADECIMENTOS
:
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento
001.
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Módulo I.
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Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER e Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, jan./dez. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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Sobre os autores
Denise RITTER
Doutoranda no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
(PPGECIMAT) -UFN.
Ana Marli BULEGON
Doutora em Informática na Educação (UFRGS). Professora do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIMAT) -UFN.
Processamento e editoração: Editora Ibero-Americana de Educação.
Revisão, formatação, normalização e tradução.
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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APPROACH TO THE THEME PROBABILITY AND GEOMETRIC
PROBABILITY IN HIGH SCHOOL MATHEMATICS BOOKS
INDICATED BY PNLD
ABORDAGEM DO TEMA PROBABILIDADE E PROBABILIDADE
GEOMÉTRICA NOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO INDICADOS PELO PNLD
ENFOQUE DEL TEMA PROBABILIDAD Y LA PROBABILIDAD
GEOMÉTRICA EN LOS LIBROS DIDÁCTICOS DE MATEMÁTICAS DE
LA ESCUELA SECUNDARIA INDICADOS POR EL PNLD
Denise RITTER
Franciscan University
e-mail: deniseritter10@gmail.com
Ana Marli BULEGON
Franciscan University
e-mail: anabulegon@ufn.edu.br
How to refer to this article
BULEGON, D. R.; RITTER, D. Approach to the theme probability and geometric probability
in high school mathematics books indicated by PNLD.
Revista Hipótese
, Bauru, v. 8, e022004,
Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154. DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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: 13/06/2021
Revisions required
: 09/09/2021
Approved
: 15/09/2021
Published
: 01/01/2022
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER and Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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ABSTRACT
: This work aims to analyze how the content of Probability is approached and
whether Geometric Probability is presented in PNLD 2015 Mathematics textbooks. Samples of
High School Mathematics suggested by the Textbook Guide were analyzed. It was noticed that
all collections seek to highlight the historical aspects of Probability and most present situations
of its application. None of the collections addresses the concept of Geometric Probability and
only two have exercises that require this knowledge in the resolution. It is believed that the
analysis performed can contribute to the teaching process of Probability concepts, making their
learning more effective.
KEYWORDS
: Didatic books. Math. PNLD. Analysis.
RESUMO
: Este trabalho objetiva analisar como é abordado o conteúdo de Probabilidade e
se a Probabilidade Geométrica é apresentada em livros didáticos de Matemática do PNLD
2015. Foram analisados exemplares de Matemática do Ensino Médio sugeridos pelo Guia de
Livros Didáticos. Percebeu-se que todas as coleções procuram evidenciar os aspectos
históricos da Probabilidade e a maioria apresenta situações de sua aplicação. Nenhuma das
coleções aborda o conceito de Probabilidade Geométrica e apenas duas apresentam exercícios
que exigem esse conhecimento na resolução. Acredita-se que a análise realizada pode
contribuir no processo de ensino dos conceitos de Probabilidade, tornando sua aprendizagem
mais efetiva.
PALAVRAS-CHAVE
: Livros didáticos. Matemática. PNLD. Análise.
RESUMEN
: Este trabajo tiene como objetivo analizar cómo se aborda el contenido de
Probabilidad y si la Probabilidad Geométrica se presenta en los libros didáticos de
Matemáticas del PNLD 2015. Se analizaron muestras de Matemáticas de Secundaria sugeridas
por la Guía de Libros Didáticos. Se notó que todas las colecciones buscan resaltar los aspectos
históricos de la Probabilidad y las situaciones más presentes de su aplicación. Ninguna de las
colecciones aborda el concepto de Probabilidad Geométrica y solo dos tienen ejercicios que
requieren este conocimiento en la resolución. Se cree que el análisis realizado puede contribuir
al proceso de enseñanza de los conceptos de Probabilidad, haciendo más efectivo su
aprendizaje.
PALABRAS CLAVE
: Libros didácticos. Matemáticas. PNLD. Analizar.
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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Introduction
The knowledge of mathematics is important because they have applications in various
areas of knowledge and in everyday life. Among this knowledge is probability that helps in the
analysis of situations and decision making. Using Probability, you can determine the possibility
of events occurring, such as the outcome of a lottery or the chances of a team winning a game
or a championship.
The PCNEM (National Curriculum Parameters of High School) emphasize the
importance of working mathematics in a contextualized way so that the student can analyze,
understand, interpret, construct arguments and make decisions in everyday situations (BRASIL,
2000). Therefore, the curricula of basic education include several concepts of application of
mathematics in daily life in its curriculum, as is the case of Probability. The study of this concept
begins in Elementary School (EF) and is deepened in High School (EM).
Textbooks provided by the Ministry of Education (MEC) through the National Textbook
Program (PNLD) are used as a reference in public schools. Schools choose the textbooks they
wish to use through the analysis of the Textbook Guide that presents the review of the works
approved by MEC. The objective of the PNLD is to make available to elementary and high
schools, textbooks, collections of literary works, complementary works and dictionaries.
The textbook is an important material, because, according to Carvalho and Lima (2010)
most teachers attribute to this resource a prominent role among the teaching resources that can
be used in the teaching and learning process. Considering that the textbook is a material that is
used by teachers as support in the teaching process, the importance of performing the analysis
of this type of material is highlighted. Therefore, this work aims to analyze how the concept of
Probability is approached and whether geometric probability is presented in the collections of
mathematics textbooks indicated by the 2015 PNLD for High School. The analysis developed
in this article is an integral part of the master's thesis entitled "The teaching of Geometric
Probability: challenges and possibilities", authored by one of the authors, developed in the
Graduate Program in Science and Mathematics Teaching of the Franciscan University.
This paper presents some reflections on the textbook and the teaching of mathematics;
relevant aspects on the concepts of Probability and Geometric Probability; an overview of the
works already published on this theme; the methodology used in this study; the approach of the
theme Probability and Geometric Probability in high school mathematics textbooks; the final
considerations and references used in the preparation of this work.
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER and Ana Marli BULEGON
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Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
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Textbook and mathematics teaching
The textbook is still an important didactic material for access to the content used by
teachers in their classes and pointed out by Delizoicov, Angotti and Pernambuco (2007) as the
main instrument of the teacher's work, in most classrooms, supporting teaching practice and
serving as the main reference.
According to Carvalho and Lima (2010, p. 29) "A good textbook is a source for the
knowledge of school mathematics. It is in him that we can become familiar with the
mathematics that we must teach." The textbook can be used by the teacher as a support for the
development of the content; this resource can also influence the way the teacher develops the
content, and may propose situations problems or practical activities suggested in the textbook.
Thus, the textbook signals which knowledge will be studied, the methods that can be adopted
to learn it effectively and the curricular organization to the end of years of schooling
(CARVALHO; LIMA, 2010). Textbooks generally aim to
Provide students with a reference tool for any research; propose a partition of
the program in structured chapters, allowing students and teachers to use them
as a reference; be a database for exercises and problems; Explain a text,
exposing the program's views
(ALMOULOUD, 2005, p. 53, our
translation).
The textbook plays the important role of favoring students' contact with school
mathematics (CARVALHO; LIMA, 2010). The Common National Curriculum Base (BNCC)
points out that the textbook is one of the resources that have an important role in the
understanding and use of mathematical understanding and that "[...] these materials need to be
integrated into situations that lead to reflection and systematization, in order to initiate a
formalization process" (BRASIL, 2018, p. 276, our translation). Thus, the important role of the
textbook is perceived and the relevance of performing analyses of this type of material is
emphasized, aiming to identify its characteristics, strengths and aspects that need greater
reflections. Textbooks
[...] they are an important instrument for teaching and learning, it would be
desirable for them to offer subsidies so that the teacher could develop his
activities in an appropriate way to the official proposals, both in the
preparation of his classes and in his teaching practice (NASCIMENTO, 2004,
p. 51, our translation).
Carvalho and Lima (2010) emphasize that it is important to verify whether textbooks
promote the integration between mathematical contents and relate mathematics to other areas
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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of knowledge. In addition, these authors also point out the importance of textbooks presenting
suggestions for games, concrete materials, experiments, practical activities, investigations and
projects.
In addition to these pedagogical aspects, textbooks are resources that favor research in
any time and place; because it has printed versions and can be handled by its users, even without
internet access.
In view of the aspects presented, it is perceived the importance that the textbook plays
as a subsidy for the teacher to plan his classes and as a source of consultation for students. Thus,
it is important to carry out studies that analyze this type of material, which can help teachers
identify the potentialities of this resource.
Geometric Probability and Probability
Probabilities theory makes it possible to create models to study random experiments or
phenomena. A random phenomenon is every experiment that, even being repeated several
times, under the same conditions, does not present the same result; because of this is that if you
seek the chances, the probable results, the probability of a given result occurring.
The first formal definition of probability as a quotient of the number of "favorable cases"
on the number of "possible cases", according to Morgado
et al.
(1991), was found in
The Liber
of Ludo Aleae
by Jerome Cardano, which is described below. Consider that random experiments
have the following characteristics:
a)
There is a finite number (called
by n
) of elementary events (possible cases). The
sample space (Ω) is the union of all elementary events.
b)
Elementary events are equiprobable (all have the same probability of occurring).
c)
Every event
A
is a union of elementary events where
m n
°
(favorable cases).
It is then defined:
number of favorable cases
m
Probability of A =
P A
( ) = =
number of possible cases
n
The knowledge of Probability is important, because it helps people in the analysis of
situations and decision-making in their daily lives. In addition, it allows the student to develop
important skills such as critical analysis and argumentation (LOPES, 2008).
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Denise RITTER and Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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Woodward and Hoehn (1994) point out that in order for students to learn more about
Probability, it is necessary to teach or reinforce concepts of this content relating to other
contents such as Geometry. According to the authors, Geometry is appropriate for the following
factors: geometry problems involving probability are interesting and can serve as motivation;
students will be able to use differently the concepts of Geometry they already have; and will
have a better understanding of the concepts of Probability when they see them applied to the
context of geometry.
Geometric Probability helps students to construct important concepts, as it uses the
concepts of Geometry studied since elementary school to develop the concept of Probability
(FREITAS, 2009).
The content of Geometric Probability is not always addressed in Basic Education
Mathematics classes (ALCÂNTARA, 2014; CAETANO; PATERLINI, 2013). This fact can
happen because probability concepts are often not worked on at this level of education, although
it is an important topic that is used in several areas of knowledge (SILVA, 2014; VIANA,
2013).
Geometric Probability is a part of the Probability study in which it is necessary to use
geometric stakes to solve probabilistic problems (GONDIM, 2013; SILVA, 2014). Length,
area, and volume are the most commonly used geometric nodes to solve this type of problem.
According to Pereira (2011, p. 1, our translation): "[...] in geometric probability theory, random
elements are not quantities, but geometric objects such as line points and rotations."
Tunala (1992, p.16, our translation) places that:
Some probability problems are equivalent to random selection of points in
sample spaces
represented by geometric figures
. In the models under this case,
the probability of a given event is reduced to the relationship
–
or its limit, if
any
–
between homogeneous
geometric measurements
, such as length, area or
volume.
According to Machado (2012), Probability in geometric spaces are ratios between
measures of length, area or volume, and these measurements are in the same unit. In this sense,
Tunala (1992) presents the following definition for probability involving area: Suppose
that a
flat figure is part
of another flat figure
A
and that a point of A has been chosen
at random
. If
we admit that the probability of this point belonging to
a
is proportional to the area of
a
and
does not depend on the place that occupies it in
A
, then the probability that the selected point is
in
a
will be:
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Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
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Figure 1
–
Area probability ratio of two geometric spaces
Source: Elaborated by the authors (2020)
Probability in textbooks: overview
In this section, some studies are presented that analyzed how the concept of probability
is addressed in mathematics textbooks.
Rodrigues and Martins (2016) aimed to analyze and discuss how the theme Probability
is addressed in the six collections of textbooks approved for high school in the PNLD of the
triennium 2015-2017. From the analysis of textbooks, the authors emphasize that probability
content is not addressed in any of the collections analyzed in the first year of high school; two
addresses in volumes 2 and 3, and the other present this content only in the second volume;
thus, probability content is worked on in only one year of the high school cycle. The authors
also found that collections usually dedicate, on average, only a little more than three percent of
the pages to the approach of Probability content, throughout high school.
Viali and Oliveira (2010) interviewed high school teachers to identify which textbook
collections they usually use. From the answers, the authors selected the five books most cited
by the teachers for analysis. The objective of the analysis was to verify how the content of
Probability is presented and whether it is in accordance with the legislation, specifically the
PCN+. The authors found that probability content is usually inserted in the last chapter, without
establishing relationships with previous contents and that in the examples and exercises, issues
involving games, currencies and data prevail. Finally, they point out that none of the texts make
use of or encourage the teacher to use technological resources.
Coutinho
et al.
(2013) conducted a study of the 2012 PNLD Textbook Guide in relation
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Denise RITTER and Ana Marli BULEGON
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
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to the presence of probability content, the number of pages destined to it and the methodology
used. Then, the authors analyzed the tasks proposed in one of the collections, which was chosen
because it had the least number of pages destined to Probability. The authors concluded that the
analyzed work presented a good approach to probability content, which contemplated from the
perception of chance, through the description of a random experiment, enumeration of possible
results, and then addressed the classical definition of Probability. They also realized that the
frequentist vision
1
is not adequately explored in the approved collections presented in the
Textbook Guide.
Oliveira (2006), analyzed how the contents of Statistics and Probability are approached
in a sample of mathematics textbooks for high school, published between 1992 and 2005. From
the analysis, the author points out that textbooks give little emphasis to the contents of
Probability and Statistics; according to the author, some present misconceptions, do not
contextualize the themes and do not propose the use of information and communication
technology (ICT) resources in problem solving, thus going against the Educational Guidelines
complementary to national curriculum parameters (PCN+).
In view of the aspects highlighted in the studies found in the literature, the importance
of performing textbook analysis is emphasized, since these have aspects that deserve the
teacher's attention at the time of their use.
Methodology
The work presented is a qualitative study, of the documentary type. According to Lüdke
and André (1986, p. 38, our translation), documentary analysis is an important qualitative data
approach, which analyzes "[...] from laws and regulations, norms, opinions, letters, memos,
personal diaries, autobiographies, newspapers, magazines, speeches, scripts for radio and
television programs to books, statistics and school archives".
The objective of this work is to analyze how probability concepts are approached and
whether geometric probability is presented in high school mathematics textbooks of the 2015
PNLD. To this end, all the copies suggested by the 2015 PNLD Textbook Guide, destined to
high school (Chart 1) were performed. The Textbooks Guide presents the contents addressed in
each volume of textbooks of all collections, thus, from their analysis and review of the volumes
1
Probability Regular is characterized by the mathematical value of probability being resulting from the
experimentation process, in which the frequency with which the facts occur is observed.
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Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
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of the collections presented in Chart 1, we select the volumes that address the concept of
Probability.
Table 1
–
Reference of the collections of High School books analyzed
COLLECTIONS
REFERENCE
Collection I
LEONARDO, F. M.
Conexões com a Matemática
. Vol. 2, 3. 2ª ed. Cidade: Moderna,
2013.
Collection J
DANTE, L. R.
Matemática:
Contexto e Aplicações. Vol. 2, 3. 2ª ed. São Paulo: Ática,
2013.
Collection K
PAIVA, M. R.
Matemática
–
Paiva
. Vol. 2. 2ª ed. Cidade: Moderna, 2013.
Collection L
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D. M.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. S.
Matemática
–
Ciência e Aplicações. Vol. 2. 7ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
Collection M
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V.
Matemática
–
Ensino Médio.
Vol. 2, 3. 8ª ed. São
Paulo: Saraiva, 2013.
Collection N
SOUZA, J. R.
Novo olhar:
Matemática. Vol. 2. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2013.
Source: Ritter (2017, p. 61)
The analysis performed in the collections of textbooks was based on the following
questions: How is the content of Probability addressed? Are the historical aspects of how this
content emerged? Are content application situations displayed? Is Probability related to other
math content? Is Probability related to other disciplines/areas? Are activities proposed such as
experiments, construction of conceptual maps, games, among others? Is the concept of
Geometric Probability addressed? Are exercises on Geometric Probability proposed? These
questions were proposed based on the points that Carvalho and Lima (2010) consider important
to be observed in mathematics textbooks and on the aspects that are important in the approach
of this content.
Approach to geometric probability and probability in high school textbooks
It is noteworthy that the analysis of the textbooks presented below is an integral part of
the dissertation "The teaching of Geometric Probability: challenges and possibilities" of one of
the authors of this work. The aim of this study is to analyze how probability content is
approached and whether Geometric Probability is presented in 2015 PNLD High School
mathematics textbooks.
By analyzing Chart 1, it is perceived that half of the analyzed collections (I, J and M)
approach probability content in two volumes while the others (K, L and N) approach in only
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Denise RITTER and Ana Marli BULEGON
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Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
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one. A brief description of the collections analyzed is presented below.
Leonardo's collection I (2013) shows how the theory of probabilities emerged, also
presents applications of this theory in scientific research and in social life. In this collection, the
concepts are exposed in an interspersed way with examples and applications of Probability are
presented in everyday situations. Some resolved exercises and questions about them are
proposed for students to reflect and discuss. In the section "Complementary exercises" are
presented exercises that are classified as: "Application, Deepening, Challenge, Self-
Assessment", some of which are vestibular and ENEM. The collection has the section "Text
comprehension" in which it is suggested that an interdisciplinary work with Biology be carried
out, addressing for this theme blood transfusion; the collection highlights the contributions of
various sciences in this process, including Mathematics. A discussion is presented on this topic
and then some questions about it are proposed and involving Probability. Geometric Probability
is not worked or exercises on this subject are proposed.
Dante (2013), collection J, expose how the study of probability theory arose. In this
collection, the concepts are developed in an interspersed way with exercises and resolved
exercises. Some of the resolved exercises have the topic "Solved step by step" in which a
sequence of steps is performed that are: "Reading and Understanding," "Planning the Solution,"
"Running What Was Planned," "Emitting the Response," and "Extending the Problem." The
collection also presents "Applications of Probability to Genetics" and points out that this area
is perhaps the branch of Biology that most utilizes the mathematical concepts of probability
theory. In this section, exercises that address this theme are also presented. The section "Other
contexts" discusses organ donation, and probability issues that address this theme. It presents
the section "Readings" which has the topics "The Mathematics of Luck" and "A Little More
about Probabilities" discussing these subjects. Geometric Probability is not worked on nor are
exercises proposed on this subject in this collection.
Paiva's Collection K (2013) presents a brief historical account of the emergence of
probability theory. The concepts are presented and exemplified, and then "Resolved Exercises"
and "Proposed Exercises" are presented. The exercises are contextualized with real situations.
It presents a section called "Work Roadmap", in which topics related to the concepts
worked for students to discuss in groups are presented. They propose "Complementary
exercises", some of these vestibular and ENEM. They also propose the "Resolution Analysis",
in which an exercise is presented and its resolution, during which a mistake was made, then
encourages the identification of this error and to remake the resolution. The section
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Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
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"Mathematics without borders" is also presented, which addresses the "Life Expectancy" of the
Brazilian population, and probability questions are proposed about the data presented.
Geometric Probability is not worked or exercises on this subject are proposed.
Iezzi
et al.
(2013), collection L, address the history of Probability in the section "A little
history" in which they present the first records linked to the theory of Probability. The concepts
are presented together with real situations and questions are proposed that use for their
resolution the ideas of combinatorial and Probability. The exercises are contextualized with real
situations, and several situations are presented in which the concepts of Probability are used,
such as the probability of winning in the lottery. Geometric Probability is not explored in this
collection.
The collection M, by Smole and Diniz (2013), in volume 2, highlights some areas of
probability applications. The contents are explained and exemplified. In the "Problems and
exercises" section, it suggests conducting experiments such as coin and data releases and
contextualized problem solving. They also propose exercises and their respective resolution,
encouraging the student to analyze the resolution to identify if it has errors, encouraging them
to argue about them. It has the "Invent you" section, which suggests that students create
problems on a particular subject. It presents links from digital games as a suggestion that can
be used to help in understanding the concept of Probability. It has solved exercises; in the "To
learn more" section are proposed activities such as the posting of coins. It also addresses the
relationship between Probability and Counting, and exercises on these contents are proposed.
One of the exercises (Chart 2) proposed in the "Get out of this" section requires the notion of
Geometric Probability for resolution.
Table 2
–
Problem proposed in book M
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Source: Smole and Diniz (2013, p. 181)
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It has the section "Project Probability: history and applications" in which it suggests that
students investigate the history of Probability and its applications. In the "keywords" section,
they propose the construction of conceptual maps as a way to synthesize what has been studied.
To this do, it shows an initial outline of a conceptual map on the topic of Probability and
suggests that students complete it.
It presents the section "Mathematical Connection - Quantum Physics", which has a text
on the relationship between Quantum Theory and Probability.
In volume 3 of this collection, the unit "Probability and Statistics" is presented, which
aims to use Probability in the interpretation of situations and in decision-making based on
statistical data. It has two sections of deepening of the contents entitled "Function or distribution
of Probability" and "Frequent probability and law of large numbers". In the "On the computer"
section, they suggest a computer program that makes simulations such as the launch of a coin;
presents instructions for using the program, urging students to explore it and conduct
experiments. In the section "To know", a text about a family of mathematicians is presented
that contributed to the theory of Probabilities. In the section "Mathematical Connection -
Forensic Science - Probability" is presented a text on Forensic Science and the various areas
involved for the scientific analysis of the evidence of a crime.
Souza (2013), collection N, presents the origin of probability theory related to gambling.
The concepts are exposed interspersed with examples. In the "Resolved Activities" section,
some exercises are presented along with their resolution. It also presents the "Activities" section
in which exercises are proposed for students to solve. Both in the "Resolved Activities" and in
the "Activities" the book presents questions of the ENEM and vestibular. In the "Activities"
section one of the proposed questions is about Tangram. This exercise does not mention
Geometric Probability, but for its resolution it is necessary to know this concept, as can be
observed in Chart 3.
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Table 3
–
Problem 1 proposed in book N
Source: Souza (2013, p. 257)
It has the "Context" section that covers several topics such as probability in a group of
people, two of whom have a birthday on the same day. It presents a text that deals with the
contributions of Probability in the diagnosis of diseases in medicine and then proposes some
questions. One of the exercises proposed in the section "Complementary Activities" of the
ENEM (Chart 4) also requires knowledge of Geometric Probability for its resolution.
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Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
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Table 4
–
Problem 2 proposed in book N
Source: Souza (2013, p. 276)
In the section "Exploring the theme" presents "The problem of the five discs" according
to the version of Malba Tahan. They also propose a probabilistic analysis of their solution.
Table 5 presents a synthesis of the most evident aspects observed and that answer the questions
that we propose to analyze in the collections of mathematics textbooks.
Table 5
–
More evident aspects of probability content in the analyzed collections
Aspects/Collection
I
J
K
L
M
N
It addresses its
emergence.
X
X
X
X
X
X
Relates to
other content.
X
X
Relates to other
disciplines/area.
X
X
X
X
X
They propose
applications to
everyday situations.
X
X
X
X
X
X
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It suggests the
performance of
activities (experiments,
conceptual maps,
games).
X
It has exercises that
involve Geometric
Probability.
X
X
Source: Prepared by the authors (2021)
Regarding how the contents are presented in the six collections of textbooks analyzed,
we can perceive that all of them seek to use a story approach of how the first senses of
Probability emerged. Another relevant aspect observed is that all collections present situations
of application of probability content to everyday situations. These data are in line with what
Carvalho and Lima (2010) states, that most textbooks seek to relate mathematical contents to
their meaning in people's daily lives.
Vestibular (application exams for college) and ENEM exercises were present in three
of the six collections of textbooks analyzed, which is also a relevant aspect, since this type of
exercise helps to familiarize the student with the type of questions of these selection processes.
It was also noticed the concern of the majority (5) of the collections in relating the
content of Probability to other disciplines/areas, this aspect is important because it is a content
that is used in several disciplines, such as Biology. It is also notelike the concern of the
collections in presenting examples of how probability can be used in other contexts, such as: in
the diagnosis of diseases in medicine, in organ donation, in the life expectancy of the Brazilian
population and in Forensic Science.
It is noteworthy that only in a collection, collection M, activities such as: experiments,
digital games to be played by students are suggested; construction of conceptual maps. Thus, it
is perceived that this collection seeks to stimulate the use of different resources and strategies
to contribute to the teaching and learning process of probability concepts.
Another aspect that needs to be further explored in the analyzed collections is to relate
probability content with other mathematics contents, such as combinatorial analysis, for
example, since only two collections (L and M) present these relationships.
The analysis also made it possible to verify that none of the textbook collections
addresses the concept of Geometric Probability; two present exercises that for their resolution
it is necessary to use this concept. Lima (2001), in his study performed an analysis of twelve
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collections of mathematics textbooks used in the three years of high school in Brazil, finding
the content of Geometric Probability in only one of them. This author points out that "This
subject, rarely addressed in high school, is an appropriate introduction to the notion of
continuous probability and provides very motivating examples" (LIMA, 2001, p. 97).
According to Caetano and Paterlini (2013) the concept of Geometric Probability is little worked
on in high school, but their study is important, as it can help students associate the concepts
worked in Probability with the geometric knowledge they already have.
Ritter and Bulegon (2017) performed an analysis of how the content of Geometric
Probability and Probability is worked in the elementary school mathematics textbooks indicated
by the PNLD 2014. These authors found that in some collections the concept of Geometric
Probability is mentioned and some exercises are proposed on it. Thus, it is perceived that the
concept of Geometric Probability is addressed in some textbooks of Elementary School
Mathematics indicated by PNLD 2014, while in the high school mathematics textbooks
indicated by PNLD 2015, this concept appears only intuitively in a few exercises.
Final considerations
The objective of this work was to analyze how probability content is approached and
whether geometric probability is presented in 2015 PNLD mathematics textbooks for high
school students. The analysis of the six collections of textbooks made it possible to realize that
the concept of Geometric Probability is not addressed in any, but in two of them exercises are
proposed that, for its resolution, it is necessary to use this concept.
It can be concluded that the collections analyzed use different approaches to present the
content of Probability, and it was possible to identify the prevalence by using the historical
approach of how this content arose and the concern to present everyday situations of its
application.
Only one of the collections analyzed suggested the use of resources, such as games, in
the teaching of Probability. Thus, it is important that collections incorporate suggestions of
practical activities using different resources and strategies, since this type of activity has great
potential to contribute to the teaching and learning process of various concepts.
Moreover, it is noteworthy that as pointed out by Carvalho and Lima (2010) the textbook
is an important resource, but this should not be the only resource used to support the teacher's
work, it is necessary to seek other sources to expand and improve the content and adapt it to the
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reality of the student group.
Finally, it is emphasized that in 2020/2021, with the Covid-19 pandemic and difficulties
in accessing the Internet, many students only had contact with the concepts, studied in Basic
Education, through textbooks. Thus, it is believed that the textbook is an important material and
that the analysis performed can contribute to the teaching and learning process of the concepts
of Probability, making its learning more effective.
ACKNOWLEDGMENTS
:
This work was carried out with the support of the Coordination
for the Improvement of Higher Education Personnel - Brazil (CAPES) - Financing Code 001.
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v. 1, n. 1, jan./jun. 2005.
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CAETANO, P. A. S.; PATERLINI, R. R.
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Texto, 2013.
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Ensino Fundamental. Brasília, DF: Ministério da Educação, Secretaria de
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FREITAS, R. E. A.
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. 2009. 33 f.
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Universidade
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Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
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GONDIM, H. F.
Probabilidade e Probabilidade Geométrica
:
Conceitos e exemplos
aplicáveis no Ensino Básico. 2013. 66 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática
em Rede Nacional)
–
Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, Campo Grande, 2013.
LIMA, E. L.
Exame de textos
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análise: discussões sobre a aplicabilidade do conceito de escalas nas pesquisas sobre formação de professores
Approach to the theme probability and geometric probability in high school mathematics books indicated by PNLD
Rev. Hipótese,
Bauru, v. 8, e022004, Jan./Dec. 2022. e-ISSN: 2446-7154
DOI: https://doi.org/10.47519/eiaerh.v8.2022.ID5
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About the authors
Denise RITTER
Doutoranda no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
(PPGECIMAT) -UFN.
Ana Marli BULEGON
Doutora em Informática na Educação (UFRGS). Professora do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIMAT) -UFN.
Processing and publication by the Editora Ibero-Americana de Educação.
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